Задача 57020

Тема:    [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то

+ = + .

Решение

а) Сопоставим окружности (x - a)² + (y - b)² = r² с заданной на ней ориентацией (направлением обхода) точку с координатами (a, b,±r), где знак перед r соответствует ориентации окружности. Рассмотрим пару пересекающихся прямых, на которых заданы ориентации (направления). Легко убедиться, что семейству ориентированных окружностей, касающихся данных прямых так, что в точках касания ориентации согласованы, сопоставляется прямая в пространстве, проходящая через точку плоскости r = 0, соответствующую точке пересечения двух данных прямых.
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD — в точке Q. Предположим, что четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B и C, описанные. Зададим на вписанных в них окружностях ориентации согласованным образом и перенесем эти ориентации на касательные. Пусть этим ориентированным окружностям соответствуют точки O_a, O_b и O_c. Тогда точки O_a, O_b и P лежат на одной прямой; точки O_b, O_c и Q тоже лежат на одной прямой. Следовательно, все эти точки лежат в одной плоскости. Поэтому прямые O_aQ и O_cP пересекаются в некоторой точке O_d. (Вообще говоря, эти прямые могли бы быть параллельны. Чтобы исключить такую возможность, нужно воспользоваться тем, что если, например, точка B лежит между A и P, то точка O_b лежит между O_a и P.) Точке O_d соответствует окружность, вписанная в четырехугольник, примыкающий к вершине D.
б) Радиусы r_a, r_b, r_c, r_d пропорциональны расстояниям от точек O_a, O_b, O_c, O_d до прямой PQ. Поэтому нужно лишь воспользоваться результатом задачи 1.3, б).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.010.2