Условие
Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника
ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять
четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам
A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если ra, rb, rc, rd — радиусы окружностей,
вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то
Решение
а) Сопоставим окружности
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
с заданной на ней ориентацией (направлением обхода) точку с
координатами
(a, b,±r), где знак перед r соответствует
ориентации окружности. Рассмотрим пару пересекающихся прямых, на
которых заданы ориентации (направления). Легко убедиться, что
семейству ориентированных окружностей, касающихся данных прямых
так, что в точках касания ориентации согласованы, сопоставляется
прямая в пространстве, проходящая через точку плоскости r = 0,
соответствующую точке пересечения двух данных прямых.
Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC
и AD — в точке Q. Предположим, что четырехугольники,
примыкающие к вершинам A, B и C, описанные. Зададим на
вписанных в них окружностях ориентации согласованным образом и
перенесем эти ориентации на касательные. Пусть этим
ориентированным окружностям соответствуют точки Oa, Ob и
Oc. Тогда точки Oa, Ob и P лежат на одной прямой;
точки Ob, Oc и Q тоже лежат на одной прямой.
Следовательно, все эти точки лежат в одной плоскости. Поэтому
прямые OaQ и OcP пересекаются в некоторой точке Od.
(Вообще говоря, эти прямые могли бы быть параллельны. Чтобы
исключить такую возможность, нужно воспользоваться тем, что
если, например, точка B лежит между A и P, то точка Ob
лежит между Oa и P.) Точке Od соответствует окружность,
вписанная в четырехугольник, примыкающий к вершине D.
б) Радиусы ra, rb, rc, rd пропорциональны
расстояниям от точек Oa, Ob, Oc, Od до прямой PQ.
Поэтому нужно лишь воспользоваться результатом задачи 1.3, б).
Источники и прецеденты использования
