Условие
Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного
четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей
четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон
исходного четырехугольника с вписанной окружностью.
Решение
Пусть стороны
AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD
касаются вписанной окружности в точках E, F, G, H соответственно.
Покажем сначала, что прямые FH, EG и AC пересекаются в одной точке.
Обозначим точки, в которых прямые FH и EG пересекают прямую AC,
через M и M' соответственно. Поскольку
AHM = BFM как
углы между касательными и хордой HF, то
sin AHM = sin CFM.
Поэтому
= 
= 
,
т. е.
= 
. Аналогично
= 
= = ,
поэтому M = M', т. е. прямые FH, EG и AC пересекаются в одной точке.
Аналогичные рассуждения показывают, что прямые FH, EG и BD
пересекаются в одной точке, поэтому прямые AC, BD, FH и EG
пересекаются в одной точке.
Источники и прецеденты использования
