Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке S.
а) Расстояния от точек P, Q и S до точки O равны p, q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS.
б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.

   Решение

Тема:    [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Решение

Пусть стороны  AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD касаются вписанной окружности в точках E, F, G, H соответственно.
Покажем сначала, что прямые FH, EG и AC пересекаются в одной точке. Обозначим точки, в которых прямые FH и EG пересекают прямую AC, через M и M' соответственно. Поскольку  AHM = BFM как углы между касательными и хордой HF, то  sin AHM = sin CFM. Поэтому  = = , т. е.  = . Аналогично  = = = , поэтому M = M', т. е. прямые FH, EG и AC пересекаются в одной точке.
Аналогичные рассуждения показывают, что прямые FH, EG и BD пересекаются в одной точке, поэтому прямые AC, BD, FH и EG пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования