Задача 57038

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения медиан двух противоположных треугольников, перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треугольников.

Решение

Пусть диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; H_a и H_b — ортоцентры треугольников AOB и COD; K_a и K_b — середины сторон BC и AD; P — середина диагонали AC. Точки пересечения медиан треугольников AOD и BOC делят отрезки K_aO и K_bO в отношении 1 : 2, поэтому нужно доказать, что  H_aH_b K_aK_b.
Так как  OH_a = AB| ctg| и  OH_b = CD| ctg|, где  = AOB (см. задачу 5.45, б)), то  OH_a : OH_b = PK_a : PK_b. Соответственные стороны углов H_aOH_b и K_aPK_b перпендикулярны; кроме того, векторы  и  направлены к прямым AB и CD при  < 90^o и от этих прямых при  > 90^o. Поэтому  H_aOH_b = K_aPK_b и  H_aOH_b K_aPK_b. Следовательно,  H_aH_b K_aK_b.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.027