Условие
Дан выпуклый четырехугольник ABCD;
A1, B1, C1
и D1 — центры описанных окружностей треугольников
BCD, CDA, DAB
и ABC. Аналогично для четырехугольника
A1B1C1D1 определяются
точки
A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD
и
A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен
|(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.
Решение
Точки C1 и D1 лежат на серединном перпендикуляре
к отрезку AB, поэтому
AB 
C1D1. Аналогично
C1D1 A2B2, а значит,
AB| A2B2. Аналогично доказывается, что
параллельны и остальные соответственные стороны и диагонали
четырехугольников ABCD и
A2B2C2D2. Следовательно, эти
четырехугольники подобны.
Пусть M — середина отрезка AC. Тогда
B1M = | AMctgD|
и
D1M = | AMctgB|, причем
B1D1 = | ctgB + ctgD| . AC/2. Повернем
четырехугольник
A1B1C1D1 на
90o. Тогда, воспользовавшись
результатом задачи 6.25, получим, что этот четырехугольник выпуклый,
причем
ctgA = - ctgC1 и т. д. Поэтому
A2C2 = | ctgA+ctgC| . B1D1/2 = |(ctgA+ctgC)(ctgB+ctgD)/4| . AC.
Источники и прецеденты использования
