Задача 57058

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

Решение

Пусть перпендикуляры, восставленные к прямой AB в вершинах A и B пятиугольника ABCDE, пересекают стороны DE и CD в точках P и Q. Каждая точка отрезка CQ является вершиной прямоугольника (со сторонами, параллельными AB и AP), вписанного в наш пятиугольник, причём при перемещении этой точки от Q к C отношение длин сторон прямоугольников изменяется от  ^AP/_AB  до 0. Так как угол AEP тупой, то  AP > AE = AB.  Поэтому для некоторой точки отрезка QC отношение длин сторон прямоугольника равно 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	4
Название	Пятиугольники
Тема	Пятиугольники
задача
Номер	06.046