ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57068
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.


Решение

Обозначим вершины пятиугольника так, как показано на рисунке. Если в треугольнике две высоты равны, то равны и стороны, на которые опущены эти высоты. Рассматривая треугольники EAB, ABC и BCD, получаем  EA = AB,  AB = BC  и  BC = CD.  Поэтому трапеции EABC и ABCD равнобедренные, то есть  ∠A = ∠B = ∠C.  Рассматривая треугольники ABD и BCE, получаем  AD = BD  и  BE = CE.  Так как треугольники EAB, ABC, BCD равны, то
BE = AC = BD.  Поэтому  AD = BE  и  BD = CE,  то есть трапеции ABDE и CDEB равнобедренные. Следовательно,  ED = AB = BC = CD = AE  и
E = ∠A = ∠B = ∠C = ∠D,  то есть ABCDE — правильный пятиугольник.

Замечания

Задача также имеется в кн. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б. Гашков. "Примени математику". Наука, 1989, зад. 17.19.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.055

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .