Задача 57072

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.

Решение

  Применим теорему Чевы (см. зад. 35216) к шестиугольнику A₀A₁A_p+1A_p+3A_p+q+3A_18–r.

  а) Надо проверить равенство  sin 10° sin 20° sin 70° = sin 10° sin 30° sin 40°. Имеем  sin 20° sin 70° = sin 20° cos 20° = ½ sin 40° = sin 30° sin 40°.

  б) Надо проверить равенство  sin 10° sin 20° sin 80° = sin 20° sin 20° sin 30°.  Оно проверяется аналогично:
sin 10° sin 80° = sin 10° cos 10° = ½ sin 20° = sin 20° sin 30°.

Замечания

В книге Прасолова задача дана в несколько другой формулировке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.059