ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57076
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Теорема синусов ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тригонометрический круг ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при  n ≥ 6  правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.


Решение

  Пусть правильный  (n–1)-угольник  B1...Bn–1 вписан в правильный n-угольник  A1...An. Можно считать, что  A1 и  B1 – наименее удаленные друг от друга вершины этих многоугольников и точки B2, B3, B4 и B5 лежат на сторонах  A2A3, A3A4, A4A5  и  A5A6.  Пусть  αi = ∠Ai+1BiBi+1  и  βi = ∠BiBi+1Ai+1,  где  i = 1, 2, 3, 4.  По теореме синусов  A2B2 : B1B2 = sin α1 : sin φ  и  B2A3 : B2B3 = sin β2 : sin φ,  где φ – угол при вершине правильного n-угольника. Следовательно,     где an и an–1 – стороны данных многоугольников.
  Из аналогичных вычислений следует, что  sin α1 + sin β2 = sin α2 + sin β3 = sin α3 + sin β4.  Заметим, что

Так как  αi + βi = /n  и  αi+1 + βi = /(n–1),   то  αi+1 = αi + /n(n–1)  и  βi+1 = βi/n(n–1),  а значит,  αi + βi+1 =   – величина постоянная и
αi – βi+1 = αi–1 – βi + /n(n–1).  Следовательно,     для  θ = ½ (α1 – β2).  Противоречие: на интервале, меньшем 2π, косинус не может принимать одно значение в трёх различных точках.

Замечания

В правильный пятиугольник квадрат вписать можно (см. задачу 57058).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 6
Название Многоугольники
Тема Многоугольники
параграф
Номер 6
Название Правильные многоугольники
Тема Правильные многоугольники
задача
Номер 06.063

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .