Задача 57076

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тригонометрический круг ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Докажите, что при  n ≥ 6  правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.

Решение

  Пусть правильный  (n–1)-угольник  B₁...B_n–1 вписан в правильный n-угольник  A₁...A_n. Можно считать, что  A₁ и  B₁ – наименее удаленные друг от друга вершины этих многоугольников и точки B₂, B₃, B₄ и B₅ лежат на сторонах  A₂A₃, A₃A₄, A₄A₅  и  A₅A₆.  Пусть  α_i = ∠A_i+1B_iB_i+1  и  βi = ∠B_iB_i+1A_i+1,  где  i = 1, 2, 3, 4.  По теореме синусов  A₂B₂ : B₁B₂ = sin α₁ : sin φ  и  B₂A₃ : B₂B₃ = sin β₂ : sin φ,  где φ – угол при вершине правильного n-угольника. Следовательно,     где a_n и a_n–1 – стороны данных многоугольников.
  Из аналогичных вычислений следует, что  sin α₁ + sin β₂ = sin α₂ + sin β₃ = sin α₃ + sin β₄.  Заметим, что

Так как  α_i + β_i = ^2π/_n  и  α_i+1 + β_i = ^2π/_(n–1),   то  α_i+1 = α_i + ^2π/_n(n–1)  и  β_i+1 = β_i – ^2π/_n(n–1),  а значит,  α_i + β_i+1 = –   – величина постоянная и
α_i – β_i+1 = α_i–1 – β_i + ^4π/_n(n–1).  Следовательно,     для  θ = ½ (α₁ – β₂).  Противоречие: на интервале, меньшем 2π, косинус не может принимать одно значение в трёх различных точках.

Замечания

В правильный пятиугольник квадрат вписать можно (см. задачу 57058).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.063