Задача 57085

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Расстояние от точки X до центра правильного n-угольника равно d, r – радиус вписанной окружности n-угольника.
Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки X до прямых, содержащих стороны n-угольника, равна  n(r² + ½ d²).

Решение

Пусть  e₁, ..., e_n  — единичные векторы, направленные из центра O правильного n-угольника в середины его сторон;  x = . Тогда расстояние от точки X до  i-й стороны равно  |(x, e_i) – r|.  Поэтому искомая сумма равна   ((x, e_i)² – 2r(x, e_i) + r²) = (x, e_i)² + nr².  Согласно задаче 57083
(x, e_i)² = ½ nd².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.072