Задача 57087

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Правильный n-угольник A₁...A_n вписан в окружность радиуса R;  X – точка этой окружности. Докажите, что  

Решение

Пусть  a = ,  e_i = .  Тогда  XA_i⁴ = |a + e_i|⁴ = (|a|² + 2(a, e_i) + |e_i|²)² = 4(R² + (a, e_i))² = 4(R⁴ + 2R²(a, e_i) + (a, e_i)²).
(a, e_i) = (a, e_i) = 0.  Согласно задаче 57083  (a, e_i)² = ½ nR⁴,  поэтому искомая сумма равна  nR⁴ + 2nR⁴ = 6nR⁴.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.074