Задача 57108

Тема:    [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁ и биссектрисы AA₂ и BB₂; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A₃ и B₃. Докажите, что прямые  A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ пересекаются в одной точке или параллельны.

Решение

Точки A₁ и B₁ лежат на окружности S с диаметром AB. Пусть A₄ и B₄ — точки пересечения прямых AA₂ и BB₂ с прямой A₃B₃. Согласно задаче 2.41, а) эти точки лежат на окружности S. Прямые A₁B и A₄A пересекаются в точке A₂, а прямые BB₄ и AB₁ — в точке B₂. Поэтому, применяя теорему Паскаля к точкам  B₁, A₁, B, B₄, A₄, A, получаем, что точка пересечения прямых B₁A₁ и B₄A₄ (последняя прямая совпадает с A₃B₃) лежит на прямой A₂B₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	9
Название	Теорема Паскаля
Тема	Теорема Паскаля
задача
Номер	06.094