Условие
Дана полуокружность с центром O. Из каждой
точки X, лежащей на продолжении диаметра полуокружности,
проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается
отрезок XM, равный отрезку XO. Найдите ГМТ M, полученных таким
образом.
Решение
Пусть K — точка касания прямой MX и данной
полуокружности, а P — проекция точки M на диаметр. В
прямоугольных треугольниках MPX и OKX равны гипотенузы и
PXM = OXK, а значит, эти треугольники равны и, в частности, MP = KO = R, где R — радиус данной полуокружности. Следовательно,
точка M лежит на прямой l, параллельной диаметру полуокружности и
касающейся полуокружности. Пусть AB — отрезок прямой l,
проекцией которого является диаметр полуокружности. Из точки
прямой l, лежащей вне отрезка AB, нельзя провести касательную к
данной полуокружности, так как касательная, проведенная к окружности,
будет касаться другой полуокружности. Искомым ГМТ является
отрезок AB, из которого выброшены точки A и B и его середина.
Источники и прецеденты использования
