Условие
Дана полуокружность с центром
O. Из каждой
точки
X, лежащей на продолжении диаметра полуокружности,
проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается
отрезок
XM, равный отрезку
XO. Найдите ГМТ
M, полученных таким
образом.
Решение
Пусть
K — точка касания прямой
MX и данной
полуокружности, а
P — проекция точки
M на диаметр. В
прямоугольных треугольниках
MPX и
OKX равны гипотенузы и
PXM =
OXK, а значит, эти треугольники равны и, в частности,
MP =
KO =
R, где
R — радиус данной полуокружности. Следовательно,
точка
M лежит на прямой
l, параллельной диаметру полуокружности и
касающейся полуокружности. Пусть
AB — отрезок прямой
l,
проекцией которого является диаметр полуокружности. Из точки
прямой
l, лежащей вне отрезка
AB, нельзя провести касательную к
данной полуокружности, так как касательная, проведенная к окружности,
будет касаться другой полуокружности. Искомым ГМТ является
отрезок
AB, из которого выброшены точки
A и
B и его середина.
Источники и прецеденты использования
