Условие
Пусть
A и
B — фиксированные точки плоскости.
Найдите ГМТ
C, обладающих следующим свойством: высота
hb
треугольника
ABC равна
b.
Решение
Пусть
H — основание высоты
hb треугольника
ABC
и
hb =
b. Обозначим через
B' точку пересечения перпендикуляра к
прямой
AB, проведенного через точку
A, и перпендикуляра к
прямой
AH, проведенного через точку
C. Прямоугольные
треугольники
AB'C и
BAH равны, так как
AB'C =
BAH
и
AC =
BH. Поэтому
AB' =
AB, т. е. точка
C лежит на окружности с
диаметром
AB'.
Пусть
S1 и
S2 — образы окружности
S с диаметром
AB при
поворотах на
±90
o с центром
A (рис.). Мы доказали, что
точка
C
A принадлежит объединению окружностей
S1 и
S2.
Обратно, пусть точка
CA принадлежит окружности
S1 или
S2,
AB' — диаметр соответствующей окружности. Тогда
AB'C =
HAB и
A'B =
AB, поэтому
AC =
HB.
Источники и прецеденты использования
