Условие
Пусть A и B — фиксированные точки плоскости.
Найдите ГМТ C, обладающих следующим свойством: высота hb
треугольника ABC равна b.
Решение
Пусть H — основание высоты hb треугольника ABC
и hb = b. Обозначим через B' точку пересечения перпендикуляра к
прямой AB, проведенного через точку A, и перпендикуляра к
прямой AH, проведенного через точку C. Прямоугольные
треугольники AB'C и BAH равны, так как
AB'C = BAH
и AC = BH. Поэтому AB' = AB, т. е. точка C лежит на окружности с
диаметром AB'.
Пусть S1 и S2 — образы окружности S с диаметром AB при
поворотах на
±90o с центром A (рис.). Мы доказали, что
точка C
A принадлежит объединению окружностей S1 и S2.
Обратно, пусть точка CA принадлежит окружности S1 или S2, AB' — диаметр соответствующей окружности. Тогда
AB'C = HAB и A'B = AB, поэтому AC = HB.
Источники и прецеденты использования
