Задача 57157

Темы:    [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Гомотетичные окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Гомотетия (ГМТ) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки A?

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей (точка P лежит на окружности с центром O₁), O — середина отрезка O₁O₂; P', Q' и O' — проекции точек O₁, O₂ и O на прямую PQ. При вращении прямой PQ точка O' пробегает окружность S с диаметром AO. Ясно, что при гомотетии с центром A и коэффициентом 2 отрезок P'Q' переходит в отрезок PQ, т. е. точка O' переходит в середину отрезка PQ. Поэтому искомым ГМТ является образ окружности S при этой гомотетии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	5
Название	Гомотетия
Тема	Гомотетия (ГМТ)
задача
Номер	07.028