Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

   Решение

Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки A(0;-2;-1) и B(3;2;-1) .

   Решение

Точки M и N таковы, что  AM : BM : CM = AN : BN : CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Тема:    [ Окружность Ферма-Аполлония ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки M и N таковы, что  AM : BM : CM = AN : BN : CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Пусть  AM : BM : CM = p : q : r. Все точки X, удовлетворяющие соотношению  (q² - r²)AX² + (r² - p²)BX² + (p² - q²)CX² = 0, лежат на одной прямой (см. задачу 7.47), а точки M, N и O удовлетворяют этому соотношению.

Источники и прецеденты использования