Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

   Решение

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?

   Решение

а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

   Решение

Натуральное число n разрешается заменить на число ab, если  a + b = n  и числа a и b натуральные.
Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?

   Решение

В комнате у Папы Карло на каждой стене висят часы, причём они все показывают неверное время: первые часы ошибаются на 2 минуты, вторые – на 3 минуты, третьи – на 4 минуты и четвёртые – на 5 минут. Однажды Папа Карло, выходя на улицу, решил узнать точное время и увидел такие показания часов: 14:54, 14:57, 15:02 и 15:03. Помогите Папе Карло определить точное время.

   Решение

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

   Решение

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

Решение

Из предыдущей задачи следует  m_a < (b + c)/2, m_b < (a + c)/2 и  m_c < (a + b)/2, поэтому сумма длин медиан меньше периметра.
Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  BO + OA > BA, AO + OC > AC и CO + OB > CB. Складывая эти неравенства и учитывая, что  AO = 2m_a/3, BO = 2m_b/3, CO = 2m_c/3, получаем  m_a + m_b + m_c > 3(a + b + c)/4.

Источники и прецеденты использования