Информация о задаче

Задача 57392

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при n $\geq$ 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Решение

Пусть d — длина наибольшей диагонали (или стороны) AB данного n-угольника. Тогда его периметр P не превосходит $\pi$ d (задача 13.42). Пусть A_i' -- проекция вершины A_i на отрезок AB. Тогда $\sum$ AA_i' $\geq$ nd /2 или $\sum$ BA_i' $\geq$ nd /2 (задача 9.87); пусть для определенности выполняется первое неравенство. Тогда $\sum$ AA_i > $\sum$ AA_i' $\geq$ nd /2 > nd $\geq$ P, так как n/2 $\geq$ 3, 5 > $\pi$ . Любая точка n-угольника, достаточно близкая к вершине A, обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.085