Задача 57414

Темы:    [ Неравенства с медианами ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Формула Герона ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что  | a² - b²|/(2c) < m_c (a² + b²)/(2c).

Решение

Формулу Герона можно переписать в виде  16S² = 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² - a⁴ - b⁴ - c⁴. А так как  m_c² = (2a² + 2b² - c²)/4 (задача 12.11, а)), то неравенства  m_c² ((a² + b²)/2c)² и  m_c² > ((a² - b²)/2c)² эквивалентны неравенствам  16S² 4a²b² и 16S² > 0 соответственно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	1
Название	Медианы
Тема	Неравенства с медианами
задача
Номер	10.006