Информация о задаче

Задача 57442

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что 3 $\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$ ${\frac{a}{r_a}}$ + ${\frac{b}{r_b}}$ + ${\frac{c}{r_c}}$ $\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$ $\geq$ 4 $\left(\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right.$ ${\frac{r_a}{a}}$ + ${\frac{r_b}{b}}$ + ${\frac{r_c}{c}}$ $\left.\vphantom{\frac{r_a}{a}+\frac{r_b}{b}+\frac{r_c}{c}}\right)$ .

Решение

Пусть $\alpha$ = cos(A/2), $\beta$ = cos(B/2) и $\gamma$ = cos(C/2). Согласно задаче 12.17, б) a/r_a = $\alpha$ / $\beta$ $\gamma$ , b/r_b = $\beta$ / $\gamma$ $\alpha$ и c/r_c = $\gamma$ / $\alpha$ $\beta$ . Поэтому после домножения на $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ требуемое неравенство перепишется в виде 3( $\alpha^{2}_{}$ + $\beta^{2}_{}$ + $\gamma^{2}_{}$ ) $\geq$ 4( $\beta^{2}_{}$ $\gamma^{2}_{}$ + $\gamma^{2}_{}$ $\alpha^{2}_{}$ + $\alpha^{2}_{}$ $\beta^{2}_{}$ ). Так как $\alpha^{2}_{}$ = (1 + cos A)/2, $\beta^{2}_{}$ = (1 + cos B)/2 и $\gamma^{2}_{}$ = (1 + cos C)/2, то переходим к неравенству cos A + cos B + cos C + 2(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) $\leq$ 3. Остается воспользоваться результатами задач 10.36 и 10.43.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.032