Информация о задаче

Задача 57453

Тема:

[

Симметричные неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) cos $\alpha$ cos $\beta$ + cos $\beta$ cos $\gamma$ + cos $\gamma$ cos $\alpha$ $\leq$ 3/4.

Решение

Ясно, что 2(cos $\alpha$ cos $\beta$ + cos $\beta$ cos $\gamma$ + cos $\gamma$ cos $\alpha$ ) = (cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ )² - cos² $\alpha$ - cos² $\beta$ - cos² $\gamma$ . Остается заметить, что cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ $\leq$ 3/2 (задача 10.36, а)) и cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ $\geq$ 3/4 (задача 10.42).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	6
Название	Симметричные неравенства для углов треугольника
Тема	Симметричные неравенства для углов треугольника
задача
Номер	10.043