Информация о задаче

Задача 57452

Тема:

[

Симметричные неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ $\geq$ 3/4.
б) Для тупоугольного треугольника

cos² $\displaystyle \alpha$ + cos² $\displaystyle \beta$ + cos² $\displaystyle \gamma$ > 1.

Решение

Согласно задаче 12.39, б) cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ = 1 - 2 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ . Остается заметить, что cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ $\leq$ 1/8 (задача 10.40, б)), а для тупоугольного треугольника cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ < 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	6
Название	Симметричные неравенства для углов треугольника
Тема	Симметричные неравенства для углов треугольника
задача
Номер	10.042