Информация о задаче

Задача 57450

Тема:

[

Симметричные неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) $\leq$ 1/8;
б) cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ $\leq$ 1/8.

Решение

а) Согласно задаче 12.36, а) sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) = r/4R. Кроме того, r $\leq$ R/2 (задача 10.26).
б) Для остроугольного треугольника следует из а) (см. замечание). Для тупоугольного треугольника cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ < 0.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	6
Название	Симметричные неравенства для углов треугольника
Тема	Симметричные неравенства для углов треугольника
задача
Номер	10.040