Задача 57445

Тема:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что  r_a² + r_b² + r_c² 27R²/4.

Решение

Так как r_a + r_b + r_c = 4R + r и r_ar_b + r_br_c + r_cr_a = p² (задачи 10.24 и 10.25), то r_a² + r_b² + r_c² = (4R + r)² - 2p². Согласно задаче 10.34 p² 4R² + 4Rr + 3r², поэтому r_a² + r_b² + r_c² 8R² - 5r². Остается заметить, что r R/2 (задача 10.26).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.035