Информация о задаче

Задача 57454

Тема:

[

Симметричные неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

sin 2 $\displaystyle \alpha$ + sin 2 $\displaystyle \beta$ + sin 2 $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \leq$ sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) + sin( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ) + sin( $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \alpha$ ).

Решение

Согласно задаче 12.40

sin 2 $\displaystyle \alpha$ + sin 2 $\displaystyle \beta$ + sin 2 $\displaystyle \gamma$ = 4 sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{2pr}{R^2}}$ .

Ясно также, что

sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) + sin( $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ) + sin( $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \alpha$ ) = sin $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{p}{R}}$ .

Таким образом, требуемое неравенство эквивалентно неравенству ${\frac{2pr}{R^2}}$ $\le$ ${\frac{p}{R}}$ , т.е. 2r $\le$ R. Это неравенство доказано в решении задачи 10.26.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	6
Название	Симметричные неравенства для углов треугольника
Тема	Симметричные неравенства для углов треугольника
задача
Номер	10.044