Информация о задаче

Задача 57459

Тема:

[

Неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ - cos 2 $\gamma$ $\leq$ 3/2.

Решение

Заметим сначала, что cos 2 $\gamma$ - cos( $\pi$ - $\alpha$ - $\beta$ ) = cos 2 $\alpha$ cos 2 $\beta$ - sin 2 $\alpha$ sin 2 $\beta$ . Поэтому cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ - cos 2 $\gamma$ = cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ - cos 2 $\alpha$ cos 2 $\beta$ + sin 2 $\alpha$ sin 2 $\beta$ . Так как a cos $\varphi$ + b sin $\varphi$ $\leq$ $\sqrt{a^2+b^2}$ (см. приложение к гл. 9), то (1 - cos 2 $\beta$ )cos 2 $\alpha$ + sin 2 $\beta$ sin 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ $\leq$ $\sqrt{(1-\cos2\beta )^2+\sin^22\beta }$ + cos 2 $\beta$ = 2| sin $\beta$ | + 1 - 2 sin² $\beta$ . Остается заметить, что наибольшее значение квадратного трехчлена 2t + 1 - 2t² достигается в точке t = 1/2 и равно 3/2. Максимальное значение соответствует углам $\alpha$ = $\beta$ = 30^o, $\gamma$ = 120^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	7
Название	Неравенства для углов треугольника
Тема	317
задача
Номер	10.049