Информация о задаче

Задача 57462

Тема:

[

Неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Из медиан треугольника с углами $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ и $\gamma_{m}^{}$ (угол $\alpha_{m}^{}$ лежит против медианы AA₁ и т. д.) Докажите, что если $\alpha$ > $\beta$ > $\gamma$ , то $\alpha$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\alpha$ > $\beta_{m}^{}$ , $\gamma_{m}^{}$ > $\beta$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ > $\gamma$ и $\gamma_{m}^{}$ > $\gamma$ .

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан AA₁, BB₁ и CC₁. Достроив треугольник AMB до параллелограмма AMBN, получим $\angle$ BMC₁ = $\alpha_{m}^{}$ и $\angle$ AMC₁ = $\beta_{m}^{}$ . Легко проверить, что $\angle$ C₁CB < $\gamma$ /2 и $\angle$ B₁BC < $\beta$ /2. Следовательно, $\alpha_{m}^{}$ = $\angle$ C₁CB + $\angle$ B₁BC < ( $\beta$ + $\gamma$ )/2 < $\beta$ . Аналогично $\gamma_{m}^{}$ = $\angle$ A₁AB + $\angle$ B₁BA > ( $\alpha$ + $\beta$ )/2 > $\beta$ .
Предположим сначала, что треугольник ABC остроугольный. Тогда точка H пересечения высот лежит внутри треугольника AMC₁. Следовательно, $\angle$ AMB < $\angle$ AHB, т. е. $\pi$ - $\gamma_{m}^{}$ < $\pi$ - $\gamma$ , и $\angle$ CMB > $\angle$ CHB, т. е. $\pi$ - $\alpha_{m}^{}$ < $\pi$ - $\alpha$ . Предположим теперь, что угол $\alpha$ тупой. Тогда угол CC₁B тоже тупой, а значит, угол $\alpha_{m}^{}$ острый, т. е. $\alpha_{m}^{}$ < $\alpha$ . Опустим из точки M перпендикуляр MX на BC. Тогда $\gamma_{m}^{}$ > $\angle$ XMB > 180^o - $\angle$ HAB > $\gamma$ .
Так как $\alpha$ > $\alpha_{m}^{}$ , то $\alpha$ + ( $\pi$ - $\alpha_{m}^{}$ ) > $\pi$ , т. е. точка M лежит внутри описанной окружности треугольника AB₁C₁. Следовательно, $\gamma$ = $\angle$ AB₁C₁ < $\angle$ AMC₁ = $\beta_{m}^{}$ . Аналогично $\alpha$ = $\angle$ CB₁A₁ > $\angle$ CMA₁ = $\beta_{m}^{}$ , так как $\gamma$ + ( $\pi$ - $\gamma_{m}^{}$ ) < $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	7
Название	Неравенства для углов треугольника
Тема	317
задача
Номер	10.052