Информация о задаче

Задача 57478

Тема:

[

Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны

]

Сложность: 5
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Решение

Предположим сначала, что центр O окружности лежит внутри данного пятиугольника A₁A₂A₃A₄A₅. Рассмотрим углы A₁OA₂, A₂OA₃,..., A₅OA₁. В сумме эти пять углов дают 2 $\pi$ , поэтому один из них, например A₁OA₂, не превосходит 2 $\pi$ /5. Тогда отрезок A₁A₂ можно поместить в сектор OBC, где $\angle$ BOC = 2 $\pi$ /5 и точки B и C расположены на окружности. В треугольнике OBC наибольшей стороной является BC, поэтому A₁A₂ $\leq$ BC.
Если точка O не принадлежит данному пятиугольнику, то углы A₁OA₂,..., A₅OA₁ дают в объединении угол меньше $\pi$ , причем каждая точка этого угла покрыта ими дважды. Поэтому в сумме эти пять углов дают меньше 2 $\pi$ , т. е. один из них меньше 2 $\pi$ /5. Дальнейшее доказательство аналогично предыдущему случаю.
Если точка O лежит на стороне пятиугольника, то один из рассматриваемых углов не больше $\pi$ /4, а если она является его вершиной, то один из них не больше $\pi$ /3. Ясно, что $\pi$ /4 < $\pi$ /3 < 2 $\pi$ /5.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	10
Название	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
Тема	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
задача
Номер	10.067