Задача 57479

Тема:    [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Даны треугольник ABC со сторонами a > b > c и произвольная точка O внутри его. Пусть прямые  AO, BO, CO пересекают стороны треугольника в точках P, Q, R. Докажите, что  OP + OQ + OR < a.

Решение

Возьмем на сторонах  BC, CA, AB точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ так, что  B₁C₂| BC, C₁A₂| CA, A₁B₂| AB (рис.). В треугольниках  A₁A₂O, B₁B₂O, C₁C₂O наибольшими сторонами являются  A₁A₂, B₁O, C₂O соответственно. Поэтому  OP < A₁A₂, OQ < B₁O, OR < C₂O, т. е.  OP + OQ + OR < A₁A₂ + B₁O + C₂O = A₁A₂ + CA₂ + BA₁ = BC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	10
Название	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
Тема	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны
задача
Номер	10.068