Вася написал на листке бумаги записку, сложил её вчетверо, надписал сверху "МАМЕ" (см. фото). Затем он развернул записку, дописал ещё кое-что, опять сложил записку по линиям сгиба случайным образом (не обязательно, как раньше) и оставил на столе, положив случайной стороной вверх. Найдите вероятность того, что надпись "МАМЕ" по-прежнему сверху.

   Решение

Тема:    [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]

Сложность: 5 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Даны треугольник ABC со сторонами a > b > c и произвольная точка O внутри его. Пусть прямые  AO, BO, CO пересекают стороны треугольника в точках P, Q, R. Докажите, что  OP + OQ + OR < a.

Решение

Возьмем на сторонах  BC, CA, AB точки A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ так, что  B₁C₂| BC, C₁A₂| CA, A₁B₂| AB (рис.). В треугольниках  A₁A₂O, B₁B₂O, C₁C₂O наибольшими сторонами являются  A₁A₂, B₁O, C₂O соответственно. Поэтому  OP < A₁A₂, OQ < B₁O, OR < C₂O, т. е.  OP + OQ + OR < A₁A₂ + B₁O + C₂O = A₁A₂ + CA₂ + BA₁ = BC.

Источники и прецеденты использования