Информация о задаче

Задача 57506

Тема:

[

Неравенства для элементов треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и CM. Докажите, что если AB > BC, то AM > MK > KC.

Решение

По свойству биссектрисы BM : MA = BC : CA и BK : KC = BA : AC. Поэтому BM : MA < BK : KC, т. е.

$\displaystyle {\frac{AB}{AM}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{BM}{MA}}$ < 1 + $\displaystyle {\frac{BK}{KC}}$ = $\displaystyle {\frac{CB}{CK}}$ .

Следовательно, точка M более удалена от прямой AC, чем точка K, т. е. $\angle$ AKM > $\angle$ KAC = $\angle$ KAM и $\angle$ KMC < $\angle$ MCA = $\angle$ MCK. Поэтому AM > MK и MK > KC (см. задачу 10.59).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	13
Название	Неравенства в треугольниках
Тема	Неравенства для элементов треугольника (прочее)
задача
Номер	10.094