Информация о задаче

Задача 57529

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?

Решение

Так как площадь правильного треугольника со стороной a равна a² $\sqrt{3}$ /4, сторона правильного треугольника площадью 1 равна 2/ $\sqrt[4]{3}$ , а его высота $\sqrt[4]{3}$ . Докажем, что из полосы шириной меньше $\sqrt[4]{3}$ нельзя вырезать правильный треугольник площадью 1. Пусть правильный треугольник ABC лежит внутри полосы шириной меньше $\sqrt[4]{3}$ . Пусть для определенности проекция вершины B на границу полосы лежит между проекциями вершин A и C. Тогда прямая, проведенная через точку B перпендикулярно границе полосы, пересекает отрезок AC в некоторой точке M. Высота треугольника ABC не превосходит BM, а BM не больше ширины полосы, поэтому высота треугольника ABC меньше $\sqrt[4]{3}$ , т. е. его площадь меньше 1.
Остается доказать, что из полосы шириной $\sqrt[4]{3}$ можно вырезать любой треугольник площадью 1. Докажем, что у любого треугольника площадью 1 есть высота, не превосходящая $\sqrt[4]{3}$ . Для этого достаточно доказать, что у него есть сторона не меньше 2/ $\sqrt[4]{3}$ . Предположим, что все стороны треугольника ABC меньше 2/ $\sqrt[4]{3}$ . Пусть $\alpha$ — наименьший угол этого треугольника. Тогда $\alpha$ $\le$ 60^o и S_ABC = (AB^.AC sin $\alpha$ )/2 < (2/ $\sqrt[4]{3}$ )²( $\sqrt{3}$ /4) = 1. Получено противоречие. Треугольник, у которого есть высота, не превосходящая $\sqrt[4]{3}$ , можно поместить в полосу шириной $\sqrt[4]{3}$ , положив сторону, на которую опущена эта высота, на сторону полосы.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.009