Задача 57537

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема синусов ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?

Решение

Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AM, поэтому PQ = AM sin PAQ = AM sin A. Значит, длина отрезка PQ максимальна, когда AM — диаметр описанной окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.017