Задача 57539

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Точки A₁, B₁ и C₁ взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M.
При каком положении точки M величина  ^MA₁/_AA1·^MB₁/_BB1·^MC₁/_CC1 максимальна?

Решение

Пусть  u = ^MA₁/_AA1,  v = ^MB₁/_BB1,  w = ^MC₁/_CC1.  Так как  u + v + w = 1  (см. задачу 56799, а)), то     причём равенство достигается, когда  u = v = w = ⅓,
то есть M – точка пересечения медиан.

Ответ

Когда M – точка пересечения медиан.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.019