Информация о задаче

Задача 57545

Тема:

[

Угол (экстремальные свойства)

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Проведите через данную точку P, лежащую внутри угла AOB, прямую MN так, чтобы величина OM + ON была минимальной (точки M и N лежат на сторонах OA и OB).

Решение

Возьмем на сторонах OA и OB точки K и L так, что KP| OB и LP| OA. Тогда KM : KP = PL : LN, а значит, KM + LN $\ge$ 2 $\sqrt{KM\cdot LN}$ = 2 $\sqrt{KP\cdot PL}$ = 2 $\sqrt{OK\cdot OL}$ , причем равенство достигается, когда KM = LN = $\sqrt{OK\cdot OL}$ . Ясно также, что OM + ON = (OK + OL) + (KM + LN).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	3
Название	Угол
Тема	Угол (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.025