Задача 57547

Тема:    [ Угол (экстремальные свойства) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Внутри острого угла BAC дана точка M. Постройте на сторонах BA и AC точки X и Y так, чтобы периметр треугольника XYM был минимальным.

Решение

Пусть точки M₁ и M₂ симметричны M относительно прямых AB и AC. Так как BAM₁ = BAM и CAM₂ = CAM, то M₁AM₂ = 2BAC < 180^o. Поэтому отрезок M₁M₂ пересекает лучи AB и AC в некоторых точках X и Y (рис.). Докажем, что X и Y — искомые точки. В самом деле, если точки X₁ и Y₁ лежат на лучах AB и AC, то MX₁ = M₁X₁ и MY₁ = M₂Y₁, т. е. периметр треугольника MX₁Y₁ равен длине ломаной M₁X₁Y₁M₂. Из всех ломаных с концами в точках M₁ и M₂ наименьшую длину имеет отрезок M₁M₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	3
Название	Угол
Тема	Угол (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.027