Задача 57548

Тема:    [ Угол (экстремальные свойства) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Дан угол XAY. Концы B и C отрезков BO и CO длиной 1 перемещаются по лучам AX и AY. Постройте четырехугольник ABOC наибольшей площади.

Решение

Четырехугольник ABOC наибольшей площади выпуклый. Среди всех треугольников ABC с фиксированными углом A и стороной BC наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием BC. Значит, среди всех рассматриваемых четырехугольников ABOC с фиксированной диагональю BC наибольшую площадь имеет четырехугольник, для которого AB = AC, т. е. точка O лежит на биссектрисе угла A. Рассмотрим, далее, треугольник ABO, в котором фиксированы угол BAO, равный A/2, и сторона BO. Площадь этого треугольника максимальна, когда AB = AO.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	3
Название	Угол
Тема	Угол (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.028