Задача 57560

Тема:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Даны прямая l и точки P и Q, лежащие по одну сторону от нее. На прямой l берем точку M и в треугольнике PQM проводим высоты PP' и QQ'. При каком положении точки M длина отрезка P'Q' минимальна?

Решение

Построим окружность с диаметром PQ. Если эта окружность пересекается с прямой l, то любая из точек пересечения является искомой, поскольку в этом случае P' = Q'. Если же окружность не пересекается с прямой l, то для любой точки M на прямой l угол PMQ острый и P'PQ' = 90^o±PMQ. Теперь легко убедиться, что длина хорды P'Q' минимальна, если угол PMQ максимален. Для нахождения точки M остается провести через точки P и Q окружности, касающиеся прямой l (см. задачу 8.56, а)), и из точек касания выбрать нужную.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Экстремальные свойства (прочее)
задача
Номер	11.040