В правильном шестиугольнике ABCDEF точки K и L - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки DK и EL пересекаются в точке N. Докажите, что площадь четырехугольника KBLN равна площади треугольника DEN.

   Решение

Две окружности радиусов r и R (r < R) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках M и N. В точках A и B окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые AB и MN пересекаются в точке C. Из точки C проведена касательная к третьей окружности (D — точка касания). Найдите CD.

   Решение

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что  + + = 1.

   Решение

В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания ABC , а его длина равна 2 . Рёбра AB и BC равны , а ребро AC равно 2. Найдите расстояние от центра вписанной в пирамиду сферы до вершины S .

   Решение

Стороны параллелограмма равны 8 и 3; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите каждую из них.

   Решение

Расположите на плоскости шесть прямых и отметьте на них семь точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено три точки.

   Решение

Тема:    [ Экстремальные свойства правильных многоугольников ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.

Решение

а) Обозначим длину стороны правильного n-угольника, вписанного в данную окружность, через a_n. Рассмотрим произвольный неправильный n-угольник, вписанный в эту окружность. У него обязательно найдется сторона длиной меньше a_n. А вот стороны длиной больше a_n у него может и не быть, но тогда этот многоугольник можно заключить в сегмент, отсекаемый стороной правильного n-угольника. Так как при симметрии относительно стороны правильного n-угольника сегмент, отсекаемый этой стороной, попадает внутрь n-угольника, площадь n-угольника больше площади сегмента. Поэтому можно считать, что у рассматриваемого n-угольника есть сторона длиной меньше a_n и сторона длиной больше a_n.
Мы можем поменять местами соседние стороны n-угольника, т. е. вместо многоугольника A₁A₂A₃...A_n взять многоугольник A₁A₂'A₃...A_n, где точка A₂' симметрична точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃ (рис.). При этом оба многоугольника вписаны в одну и ту же окружность и их площади равны. Ясно, что с помощью этой операции можно сделать соседними любые две стороны многоугольника. Поэтому будем считать, что у рассматриваемого n-угольника A₁A₂ > a_n и A₂A₃ < a_n. Пусть A₂' — точка, симметричная точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃. Если точка A₂'' лежит на дуге A₂A₂', то разность углов при основании A₁A₃ у треугольника A₁A₂''A₃ меньше, чем у треугольника A₁A₂A₃, так как величины углов A₁A₃A₂'' и  A₃A₁A₂'' заключены между величинами углов A₁A₃A₂ и A₃A₁A₂. Поскольку A₁A₂' < a_n и A₁A₂ > a_n, то на дуге A₂A₂' существует точка A₂'', для которой A₁A₂'' = a_n. Площадь треугольника A₁A₂''A₃ больше площади треугольника A₁A₂A₃ (см. задачу 11.47, а)). Площадь многоугольника A₁A₂''A₃...A_n больше площади исходного многоугольника, и у него по крайней мере на 1 больше число сторон, равных a_n. За конечное число шагов мы придем к правильному n-угольнику, причем каждый раз площадь увеличивается. Следовательно, площадь любого неправильного n-угольника, вписанного в окружность, меньше площади правильного n-угольника, вписанного в ту же окружность.
б) Доказательство аналогично предыдущему, нужно только воспользоваться результатом задачи 11.47, б), а не задачи 11.47, а).

Источники и прецеденты использования