Информация о задаче

Задача 52444

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов r и R (r < R) касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках M и N. В точках A и B окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые AB и MN пересекаются в точке C. Из точки C проведена касательная к третьей окружности (D — точка касания). Найдите CD.

Подсказка

1) Докажите, что прямые MN и AB пересекаются на прямой, проходящей через центры двух первых окружностей.

2) Докажите, что CD = CP, где P — точка касания двух первых окружностей.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r и R соответственно, O₃ — центр третьей окружности, K — вторая точка пересечения прямой AC с первой окружностью, P — точка касания двух первых окружностей.

Поскольку эти окружности касаются, то точка P лежит на прямой O₁O₂. Докажем, что точка пересечения прямых MN и AB также лежит на прямой O₁O₂.

Пусть прямая MN пересекает прямую O₁O₂ в точке C'. Если Q — проекция точки O₁ на O₂N, то треугольник O₁MC' подобен треугольнику O₂QO₁ с коэффициентом

$\displaystyle {\frac{O_{1}M}{O_{2}Q}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}M}{O_{2}N- NQ}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}M}{O_{2}N- O_{1}M}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ .

Поэтому

C'O₁ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ ^.O₁O₂ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ (R + r) = $\displaystyle {\frac{r(R+r)}{R-r}}$ .

Пусть прямая AB пересекает прямую O₁O₂ в точке C". Поскольку точка A лежит на отрезке O₁O₃, а точка B — на O₂O₃, то

$\displaystyle \angle$ O₁KA = $\displaystyle \angle$ O₁AK = $\displaystyle \angle$ O₃AB = $\displaystyle \angle$ O₃BA = $\displaystyle \angle$ O₂BF,

где F — вторая точка пересечения прямой AB и окружности с центром O₂. Поэтому KO₁ || BO₂. Пусть прямая, проходящая через точку O₁ параллельно AB, пересекает радиус O₂B в точке L. Тогда треугольник O₁KC" подобен треугольнику O₂LO₁ с коэффициентом

$\displaystyle {\frac{O_{1}K}{O_{2}L}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}K}{O_{2}B- BL}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}K}{O_{2}B- O_{1}K}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ .

Поэтому

C"O₁ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ ^.O₁O₂ = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ (R + r) = $\displaystyle {\frac{r(R+r)}{R-r}}$ .

Таким образом, C'O₁ = C"O₁. Значит, точки C' и C" совпадают. Следовательно, прямые MN и AB пересекаются на прямой O₁O₂.

Теперь найдём CD. Для этого сначала заметим, что точки A, P и B на сторонах треугольника O₁O₂O₃ таковы, что

O₁A = O₁P, O₂B = O₂P, O₃A = O₃B.

Значит, в этих точках вписанная окружность треугольника O₁O₂O₃ касается его сторон. Поскольку CP — касательная к этой окружности, CD — касательная к окружности с центром O₃, а CAB — общая секущая этих окружностей, то

CD² = CA^.CB = CP²

Следовательно,

CD = CP = CO₁ + O₁P = $\displaystyle {\frac{r(R+r)}{R-r}}$ + r = $\displaystyle {\frac{2rR}{R - r}}$ .

Ответ

${\frac{2rR}{R-r}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	106