Информация о задаче

Задача 57611

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если для некоторого треугольника p = 2R + r, то этот треугольник прямоугольный.
б) Докажите, что если p = 2R sin $\varphi$ + rctg( $\varphi$ /2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 < $\varphi$ < $\pi$ ).

Решение

Решим сразу задачу б), частным случаем которой является задача а). Так как ctg( $\varphi$ /2) = sin $\varphi$ /(1 - cos $\varphi$ ), то p²(1 - x)² = (1 - x²)(2R(1 - x) + r)², где x = cos $\varphi$ . Корень x₀ = 1 этого уравнения нас не интересует, так как в этом случае ctg( $\varphi$ /2) был бы не определен; поэтому, сократив обе части уравнения на 1 - x, придем к кубическому уравнению. Использовав результаты задач 12.38, 12.39, б), 12.41, б), можно проверить, что это уравнение совпадает с уравнением (x - cos $\alpha$ )(x - cos $\beta$ )(x - cos $\gamma$ ) = 0, где $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника. Значит, косинус угла $\varphi$ равен косинусу одного из углов треугольника; кроме того, косинус монотонен на интервале от 0 до $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	3
Название	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Тема	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
задача
Номер	12.029