Информация о задаче

Задача 57612

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если

sin $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ (cos $\displaystyle \alpha$ + cos $\displaystyle \beta$ + cos $\displaystyle \gamma$ ),

то один из углов треугольника ABC равен 60^o.

Решение

Согласно теореме синусов sin $\alpha$ + sin $\beta$ + sin $\gamma$ = p/r. Согласно задаче 12.38 cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ = ${\frac{R+r}{r}}$ . Поэтому приведённое в условии задачи соотношение можно переписать следующим образом: p = (R + r)/ $\sqrt{3}$ . Для $\varphi$ = 60^o имеем (R + r) $\sqrt{3}$ = 2R sin $\varphi$ + rctg( $\varphi$ /2). Остаётся воспользоваться результатом задачи 12.29 б).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	3
Название	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Тема	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
задача
Номер	12.029B