Информация о задаче

Задача 57632

Тема:

[

Тангенсы и котангенсы углов треугольника

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что для непрямоугольного треугольника tg $\alpha$ + tg $\beta$ + tg $\gamma$ = 4S/(a² + b² + c² - 8R²).

Решение

Так как sin² $\alpha$ + sin² $\beta$ + sin² $\gamma$ - 2 = 2 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ (см. задачу 12.39, б)) и S = 2R²sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ , остается проверить, что (tg $\alpha$ +tg $\beta$ +tg $\gamma$ )×cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ = sin $\gamma$ sin $\beta$ sin $\alpha$ . Последнее равенство доказано в решении задачи 12.48, а).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	6
Название	Тангенсы и котангенсы углов треугольника
Тема	Тангенсы и котангенсы углов треугольника
задача
Номер	12.049