Информация о задаче

Задача 57644

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ касается окружности S. Докажите, что тогда 4PB^.CQ = BC².

Решение

Пусть D, E и F — точки касания окружности с BP, PQ и QC; $\angle$ BOD = 90^o - $\angle$ B = 90^o - $\angle$ C = $\angle$ COF = $\alpha$ , $\angle$ DOP = $\angle$ POE = $\beta$ и $\angle$ EOQ = $\angle$ QOF = $\gamma$ . Тогда 180^o = $\angle$ BOC = 2 $\alpha$ + 2 $\beta$ + 2 $\gamma$ , т. е. $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 90^o. Так как $\angle$ BPO = $\angle$ DPE/2 = (180^o - $\angle$ DOE)/2 = 90^o - $\beta$ и $\angle$ QOC = $\gamma$ + $\alpha$ = 90^o - $\beta$ , то $\angle$ BPO = $\angle$ COQ. Ясно также, что $\angle$ PBO = $\angle$ OCQ. Поэтому $\triangle$ BPO $\sim$ $\triangle$ COQ, т. е. PB^.CQ = BO^.CO = BC²/4.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	8
Название	Окружности
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.061