Условие
Пусть
E — середина стороны
AB квадрата
ABCD, а
точки
F и
G выбраны на сторонах
BC и
CD так, что
AG|
EF.
Докажите, что отрезок
FG касается окружности, вписанной в
квадрат
ABCD.
Решение
Пусть
P и
Q — середины сторон
BC и
CD
соответственно. Точки
P и
Q являются точками касания вписанной
окружности со сторонами
BC и
CD. Поэтому достаточно проверить,
что
PF +
GQ =
FG. В самом деле, если
F'G' —
отрезок,
параллельный
FG и касающийся вписанной окружности, то
PF' +
G'Q =
F'G',
поэтому
F' =
F и
G' =
G.
Можно считать, что сторона квадрата равна 2. Пусть
GD =
x. Так
как
BF :
EB =
AD :
GD, то
BF = 2/
x. Поэтому
CG = 2 -
x,
GQ =
x - 1,
CF = 2 -
,
FP =
- 1, т. е.
PF +
GQ =
x + 2/
x - 2 и
FG2 =
CG2 +
CF2 = (2 -
x)
2 +
2 -
= 4 - 4
x +
x2 + 4 -
+
=
x +
- 2
= (
PF +
GQ)
2.
Источники и прецеденты использования
