Задача 57646

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

Решение

Обозначим вершины квадратов так, как показано на рис. 12.7. Пусть O -- центр окружности, H -- середина данной хорды, K — середина отрезка AA₁. Так как  = tgAHB = 2 = tgA₁HD₁, то точка H лежит на пря- мой AA₁. Пусть  = AHB = A₁HD₁. Тогда  AB - A₁D₁ = (AH - A₁H)sin = 2KH sin = 2OH sin². Поскольку  tg = 2 и  1 + ctg² = 1/sin², то  sin² = 4/5. Поэтому разность длин сторон квадратов равна 8h/5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	8
Название	Окружности
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.063