Условие
На отрезке
AB взята точка
C и на
отрезках
AC,
BC и
AB как на диаметрах построены полуокружности,
лежащие по одну сторону от прямой
AB. Через точку
C проведена
прямая, перпендикулярная
AB, и в образовавшиеся криволинейные
треугольники
ACD и
BCD вписаны окружности
S1 и
S2 (рис.).
Докажите, что радиусы этих окружностей равны.
Решение
Пусть
P и
Q — середины отрезков
AC и
AB,
R — центр окружности
S1;
a =
AC/2,
b =
BC/2,
x — радиус
окружности
S1. Легко проверить, что
PR =
a +
x,
QR =
a +
b -
x и
PQ =
b.
Проведем в треугольнике
PQR высоту
RH. Расстояние от точки
R до
прямой
CD равно
x, поэтому
PH =
a -
x, а значит,
QH = |
b -
a +
x|.
Следовательно,
(
a +
x)
2 - (
a -
x)
2 =
RH2 = (
a +
b -
x)
2 - (
b -
a +
x)
2,
т. е.
ax =
b(
a -
x). В итоге получаем
x =
ab/(
a +
b). Для радиуса
окружности
S2 получаем точно такое же выражение.
Источники и прецеденты использования
