Информация о задаче

Задача 57658

Тема:

[

Метод координат на плоскости

]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой ax + by + c = 0 равно ${\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ .

Решение

Если ax₁ + by₁ + c = 0 и ax₂ + by₂ + c = 0, то a(x₁ - x₂) + b(y₁ - y₂) = 0. Поэтому вектор (a, b) перпендикулярен рассматриваемой прямой. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки (x₀, y₀) на рассматриваемую прямую, состоит из точек с координатами (x₀ + $\lambda$ a, y₀ + $\lambda$ b). Если a(x₀ + $\lambda_{0}^{}$ a) + b(y₀ + $\lambda_{0}^{}$ b) + c = 0, т.е. $\lambda_{0}^{}$ = ${\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}}$ , то мы получаем точку на рассматриваемой прямой. Остается заметить, что расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой ax + by + c = 0 равно | $\lambda_{0}^{}$ | $\sqrt{a^2+b^2}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	10
Название	Метод координат
Тема	Метод координат
задача
Номер	12.075B-