ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57658
Тема:    [ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что расстояние от точки (x0, y0) до прямой ax + by + c = 0 равно $ {\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.

Решение

Если ax1 + by1 + c = 0 и ax2 + by2 + c = 0, то a(x1 - x2) + b(y1 - y2) = 0. Поэтому вектор (a, b) перпендикулярен рассматриваемой прямой. Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки (x0, y0) на рассматриваемую прямую, состоит из точек с координатами (x0 + $ \lambda$a, y0 + $ \lambda$b). Если a(x0 + $ \lambda_{0}^{}$a) + b(y0 + $ \lambda_{0}^{}$b) + c = 0, т.е. $ \lambda_{0}^{}$ = $ {\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}}$, то мы получаем точку на рассматриваемой прямой. Остается заметить, что расстояние от точки (x0, y0) до прямой ax + by + c = 0 равно |$ \lambda_{0}^{}$|$ \sqrt{a^2+b^2}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 10
Название Метод координат
Тема Метод координат
задача
Номер 12.075B-

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .