Задача 57660

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

Решение

Пусть  (a₁, b₁),(a₂, b₂) и (a₃, b₃) — координаты вершин треугольника. Координаты центра его описанной окружности задаются системой уравнений

(x - a1)2 + (y - b1)2 = (x - a2)2 + (y - b2)2,
(x - a1)2 + (y - b1)2 = (x - a3)2 + (y - b3)2.

Легко проверить, что эти уравнения линейные, а значит, решение рассматриваемой системы уравнений рационально.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	10
Название	Метод координат
Тема	Метод координат
задача
Номер	12.075