Условие
Квадрат
ABCD вращается вокруг своего неподвижного
центра. Найдите геометрическое место середин отрезков
PQ, где
P — основание перпендикуляра, опущенного из точки
D на неподвижную
прямую
l, а
Q — середина стороны
AB.
Решение
Рассмотрим систему координат с началом в центре
квадрата и осью
Ox, параллельной прямой
l. Пусть вершины квадрата
имеют следующие координаты:
A(
x,
y),
B(
y, -
x),
C(-
x, -
y) и
D(-
y,
x);
прямая
l задается уравнением
y =
a. Тогда точка
Q имеет
координаты
((
x +
y)/2,(
y -
x)/2), а точка
P имеет координаты (-
y,
a).
Следовательно, искомое ГМТ состоит из точек
(
t, -
t +
a/2),
где
t = (
x-
y)/4. Остается заметить, что величина
x -
y изменяется
от
-
= -
AB до
AB.
Источники и прецеденты использования
