Задача 57663

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Квадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

Решение

Рассмотрим систему координат с началом в центре квадрата и осью Ox, параллельной прямой l. Пусть вершины квадрата имеют следующие координаты:  A(x, y), B(y, - x), C(- x, - y) и D(- y, x); прямая l задается уравнением y = a. Тогда точка Q имеет координаты  ((x + y)/2,(y - x)/2), а точка P имеет координаты (- y, a). Следовательно, искомое ГМТ состоит из точек  (t, - t + a/2), где  t = (x-y)/4. Остается заметить, что величина x - y изменяется от  - = - AB до AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	10
Название	Метод координат
Тема	Метод координат
задача
Номер	12.078