Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA₁, ..., OA_n.
  а) При  n = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A₁OA₂, ..., A_nOA₁ одинакова.
  б) Доказать, что при  n = 10  такой нумерации осуществить нельзя.

   Решение

Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).

   Решение

Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.

   Решение

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

   Решение

Тема:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Решение

Пусть  a и  b — единичные векторы, сонаправленные с лучами OA и OB, = OA и  = OB. Прямая AB состоит из всех таких точек X, что = t + (1 - t) = ta + (1 - t)b. Требуется найти такие числа x₀ и y₀, что x₀/ = t = 1 - (y₀/) при всех рассматриваемых значениях  и . Остается положить x₀ = p/c и y₀ = q/c. В итоге получаем, что если p/OA + q/OB = c, то прямая AB проходит через такую точку X, что = (pa + qb)/c.

Источники и прецеденты использования